Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）若AN的长不小于4米，试求矩形AMPN的面积的最小值以及取得最小值时AN的长度．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）如图，由题设令AN=x米，然后用x表示出边长|AM|=

3x

x-2

，由题意得出

3x2

x-2

x＞32，从中求出x的范围，即为AN的取值范围．
（Ⅱ）表示出矩形的面积，化简后用基本不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设AN=x米，（x＞2），则ND=x-2
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，
∴|AM|=

3x

x-2

，
∴S_AMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

x，
∴

3x2

x-2

x＞32，
∵x＞2，
∴3x²-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8，
即AN长的取值范围是（2，

8

3

）∪（8，+∞）；
（Ⅱ）由条件AN的长不小于4，
所以y=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12≥2

3(x-2)• 12 x-2

+12=24．
当且仅当3(x-2)=

12

x-2

，即x=4时y=

3x2

x-2

取得最小值，且最小值为24平方米．
答：（Ⅰ）2＜AN＜

8

3

或AN＞8
（Ⅱ）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米．

点评：本题是个应用题，第一问要求根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；第二问考查了基本不等式求最值；本题属于中档题．