Question

抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,并与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为(,),求抛物线与双曲线的方程.

Answer 1

抛物线与双曲线方程分别为y²=4x和4x²-y²=1.

解析:

∵交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,

∴可设抛物线方程为y²=2Px(P>0).

∵点(,)在抛物线上,

∴()²=2P×.∴P=2.

∴y²=4x.

∵y²=4x的准线为x=-1,且过双曲线的焦点,

∴-c=-1,c=1.

∴a²+b²=1.①

又∵点(,)在双曲线上,

∴.②

联立①②可得,.

∴4x²-y²=1.

故所求抛物线与双曲线方程分别为y²=4x和4x²-y²=1.