Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，S_△AOB=$\sqrt{3}$，O为原点，k_OA•k_OB是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长为4及c²=a²-b²联立方程组求解a²，b²，则椭圆的方程可求；
（2）把直线l的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，代入直线方程求出两交点的纵坐标的积，求得k_OA•k_OB，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出O到直线y=kx+m的距离，写出三角形AOB的面积后得到k与m的关系，整理后得到结果为定值．

解答 解：（1）由已知，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长为4，
∴a=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l：y=kx+m与椭圆C联立可得
（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化为3+4k²-m²＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
原点到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵S_△AOB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}•$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
解得m²=$\frac{3}{2}$+2k²，
则k_OA•k_OB=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}$=$\frac{\frac{9}{2}-6{k}^{2}}{8{k}^{2}-6}$=-$\frac{3}{4}$．
故k_OA•k_OB为定值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等属于中档题．