Question

9．已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{2}$AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与C₁D所成角的余弦为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． 0

Answer 1

分析 以DA，DC，DD₁三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设AB=1，这样便可求出B，E，D，C₁几点的坐标，从而会得出$\overrightarrow{BE}=（0，-1，\frac{\sqrt{2}}{2}），\overrightarrow{{C}_{1}D}=（0，-1，-\sqrt{2}）$，这样便有$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$，从而得出异面直线BE与C₁D所成角的余弦值为0．

解答 解：如图，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则：
D（0，0，0），${C}_{1}（0，1，\sqrt{2}）$，B（1，1，0），$E（1，0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}=（0，-1，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（0，-1，-\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$；
∴$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{{C}_{1}D}$；
∴异面直线BE与C₁D所成角为90°，其余弦值为0．
故选：D．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值的方法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量坐标，以及非零向量垂直的充要条件．