Question

14．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（已知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的$\sqrt{2}$倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．

Answer 1

分析 （1）先建立直角坐标系，找到对应椭圆方程再把b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，即可求出隧道设计的拱宽l是多少；
（2）转化为求半椭圆的面积最小值问题，对椭圆方程用基本不等式即可求出对应的半椭圆面积以及满足要求的拱高h和拱宽l．
（3）先求出总造价的表达式，再利用导函数研究其最值即可．

解答 解：（1）如题干图形建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=6$\sqrt{5}$，
∴l=2a=12$\sqrt{5}$，
即隧道的拱宽约为12$\sqrt{5}$m；
（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：
只需半椭圆的面积最小即可．
由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得：$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
因为$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{2}^{2}}{{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{2}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{40}{ab}$，当且仅当$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{b}^{2}}$时取等号，
∴$\frac{40}{ab}$≤1，即ab≥40，
∴半椭圆面积S=$\frac{πab}{2}$≥$\frac{40π}{2}$=20π．
当S取最小值时，有$\frac{1{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，得a=10$\sqrt{2}$、b=2$\sqrt{2}$，
此时l=2a=20$\sqrt{2}$，h=b+3=$2\sqrt{2}$+3，
故当拱高为（$2\sqrt{2}$+3）m、拱宽为20$\sqrt{2}$m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小；
（3）设M（x，2），N（-x，2），则10≤x≤15，
设f（x）=2x+$2\sqrt{2}$•$\sqrt{（x-15）^{2}+（2-0）^{2}}$=2[x+$\sqrt{2（{x}^{2}-30x+229）}$]（10≤x≤15），
令f′（x）=$\frac{2[\sqrt{{x}^{2}-30x+229}+\sqrt{2}（x-15）]}{\sqrt{{x}^{2}-30x+229}}$=0，得：x=13或x=17（舍），
∴当x=13时，f（x）取最小值，此时M（13，2）、N（-13，2），
代入椭圆方程得：b=$\frac{25\sqrt{14}}{14}$，
∴h=3+b=3+$\frac{25\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题是一道关于椭圆的及导数的综合应用题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．