Question

7．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x
（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；
（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l₁、l₂，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设出切线方程以及切点坐标，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）当a=1时，${f^/}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}（x＞0）$．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．…（5分）
（2）解法1  设切线l₂的方程为y=k₂x，切点为（x₂，y₂），
则${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}={g^/}（{x_2}）$=${e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，所以x₂=1，y₂=e，于是${k_2}={e^{x_2}}=e$，
由题意知，切线l₁的斜率为${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程为$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
设l₁与曲线y=f（x）的切点为（x₁，y₁），
则${k_1}={f^/}（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，所以${y_1}=\frac{x_1}{e}=1$-ax₁，$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因为y₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$．
令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，则${m^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若x₁∈（0，1），因为$m（\frac{1}{e}）=-2+e-\frac{1}{e＞0\;}\;，\;m（1）=-\frac{1}{e}＜0$，
所以${x_1}∈（\frac{1}{e}\;，\;1）$，而$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$在${x_1}∈（\frac{1}{e}\;，\;1）$上单调递减，所以$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，
所以x₁=e，所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$=0．
综上可知：a=0或$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．…（12分）
解法2   设切线l₂的方程为y=k₂x，切点为（x₂，y₂），
则${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}={g^/}（{x_2}）$=${e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，
所以x₂=1，y₂=e，于是${k_2}={e^{x_2}}=e$，
由题意知，切线l₁的斜率为${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程为$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
设l₁与曲线y=f（x）的切点为（x₁，y₁），
则${k_1}={f^/}（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因为y₁=lnx₁-a（x₁-1），所以$\frac{1}{x_1}-a=\frac{{ln{x_1}-a（{x_1}-1）}}{x_1}$，
所以$ln{x_1}=1-a\;，\;{x_1}={e^{1-a}}$，消去x₁得e^a-ae-1=0．
令p（a）=e^a-ae-1，则p′（a）=e^a-e，
p（a）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当a∈（-∞，1）时，因为p（0）=0，所以a=0．
当a∈（1，+∞）时，因为p（1）=-1＜0，
p（2）=e²-2e-1＞0，所以1＜a＜2，
而$\frac{e-1}{e}＜1$，$\frac{{{e^2}-1}}{e}＞2$，所以$\frac{e-1}{e}＜a＜$$\frac{{{e^2}-1}}{e}$，
综上可知：a=0或$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线的切线方程问题，考查转化思想，是一道综合题．