Question

12．如图，已知四边形ABCD为菱形，平面ABCD外一点P，PB⊥AD，△PAD为边长等于2的正三角形，且PB在平面ABCD的射影长等于$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求PC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P在平面ABCD的射影为E，连BE交AD于O点，推导出△ABD为正三角形．由此能求出点P到平面ABCD的距离．
（Ⅱ）在直角△EBC中，求出CE，由此能求出PC与平面ABCD所成的角θ的正切值．

解答 解：（Ⅰ）设P在平面ABCD的射影为E，连BE交AD于O点，
由题意知EB⊥AD，
∴PO⊥AD，OE⊥AD，∴O为AD的中点，
∴△ABD为正三角形．
∴OE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}-\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．PE=$\sqrt{3}$，
∴$cos∠POE=\frac{OE}{PE}=\frac{1}{2}$，∴∠POE=60°，
∴点P到平面ABCD的距离$d=PE=PO×sin{60°}=\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）在直角△EBC中，
$EC=\sqrt{E{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{{{（\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）}^2}+{2^2}}=\frac{{\sqrt{43}}}{2}$
∴PC与平面ABCD所成的角θ的正切值为：
$tanθ=\frac{PE}{EC}=\frac{{3\sqrt{43}}}{43}$．

点评 本题考查点到平面的距离、线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．