Question

4．已知曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，则C上的点到直线x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距离的最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，从而曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，设C上的点P（2cosα，sinα），求出P到直线x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{3π}{4}$）-2$\sqrt{2}$|，由此能求出C上的点到直线x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距离的最小值．

解答 解：∵曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，
设C上的点P（2cosα，sinα），
P到直线x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|2cosα-2sinα-4\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{3π}{4}$）-2$\sqrt{2}$|，
∴当sin（$α+\frac{3π}{4}$）=1时，C上的点到直线x-2y-4$\sqrt{2}$=0的距离的最小值为d_min=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、求曲线上的点到直线距离的最小值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．