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    14．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}），{F_1}，{F_2}$为其左、右焦点，e为离心率，P为椭圆上一动点，则有如下说法：
    ①当0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；
    ②当e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；
    ③当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；
    以上说法中正确的个数是（　　）
    A．0B．1C．2D．3

    分析 根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F1BF2的取值范围，分别判断，使△PF1F2为直角三角形的点P个数．

    解答 解：如图所示，丨BF1丨=a，丨OF1丨=c，设∠BF1O=θ，则tanθ=$\frac{c}{a}$=e，
    ①中，当椭圆的离心率0＜e＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，即0＜tanθ＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
    ∴θ∈（0，$\frac{π}{4}$），则∠F1BF2＞$\frac{π}{2}$，
    若△PF1F2为直角三角形时，只能是∠PF1F2和∠PF2F1为直角时成立，
    所以这样的直角三角形，只有四个；
    ②中，当椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，即tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
    ∴θ=$\frac{π}{4}$，此时∠F1BF2=$\frac{π}{2}$，此时对应的直角三角形共有六个；
    ③中，当椭圆的离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$＜e＜1时，即tanθ＞$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
    ∴0＜∠F1BF2＜$\frac{π}{2}$，此时对应的直角三角形共有八个，
    故选D．

    点评 题主要考查了椭圆的几何性质问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程及其简单的几何性质，椭圆的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于中档题．

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    A．2sin3B．-2sin3C．2cos3D．-2cos3

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    （1）$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{1}&{0}&{0}\\{3}&{2}&{1}&{0}\\{4}&{3}&{2}&{1}\end{array}）$，
    （2）$（\begin{array}{l}{3}&{-3}&{4}\\{2}&{-3}&{4}\\{0}&{-1}&{1}\end{array}）$．

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