Question

19．把二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$的展开式中所有的项重新排成一列，则其中有理项都互不相邻的概率为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 利用通项公式可得有理项与无理项的项数．利用“插空法”及其排列公式即可得出概率．

解答 解：由二项式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$展开式的通项公式得：${T_{r+1}}=C_8^r{（\sqrt{x}）^{8-r}}{（\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^r}={（\frac{1}{2}）^r}C_8^r{x^{\frac{16-3r}{4}}}$
可知当r=0，4，8时为有理项，其余6项为无理项．  
展开式的9项全排列共有$A_9^9$种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排列，把3个有理项在形成的7个空中插孔，有$A_6^6A_7^3$种．
故有理项都互不相邻的概率为$P=\frac{A_6^6A_7^3}{A_9^9}=\frac{5}{12}$．
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、“插空法”、排列公式、概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．