Question

15．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A、B两种不同的数学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了解教学效果，期末考试后，陈老师利用随机抽样的方法分别从两个班级中各随机抽取20名学生，并对他们的成绩进行统计，作出茎叶图如图，记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总    计
成绩优秀	1	5	6
成绩不优秀	19	15	34
总计	20	20	40

附：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件数，列举出结果，满足条件的事件也可以列举出结果，得到概率．
（2）根据所给的数据，列出列联表，根据列联表中的数据，做出观测值，把观测值同临界值表进行比较，得到有90%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．

解答 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是
（86，93）（86，96）（86，97）（86，99）（86，99）
（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）
（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有15种结果，
符合条件的事件数（93，96）（93，97）（93，99）（93，99）（96，97）（96，99）
（96，99）（97，99）（97，99）（99，99）共有10种结果，
根据等可能事件的概率得到P=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$；
（2）由已知数据得

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总    计
成绩优秀	1	5	6
成绩不优秀	19	15	34
总计	20	20	40

根据列联表中的数据，K²=$\frac{40（1×15-5×19）^{2}}{6×34×20×20}$=3.137
由于3.137＞2.706，
∴有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

点评 本题考查等可能事件的概率，考查列出列联表，考查根据列联表做出观测值，考查临界值表的应用，本题是一个综合题目．