Question

5．已知函数f（x）=|x+1|
（1）解不等式f（x）＞4-|x-1|；
（2）已知a+b=1（a＞0，b＞0），若|x-m|-f（x）≤$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$（m＞0）对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解各个区间上的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据a+b=1，结合基本不等式的性质得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞4-|x-1|，即|x+1|+|x-1|＞4，
当x＜-1时，不等式可化为-（x+1）-（x-1）＞4，解得：x＜-2，
当-1≤x≤1时，不等式可化为（x+1）-（x-1）＞4不成立，
当x＞1时，不等式可化为（x+1）+（x-1）＞4，解得x＞2，
∴原不等式的解集为{x|x＜-2或x＞2}；
（2）$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥9，
当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时等号成立，
由题意，则|x-m|-|x+1|≤9对任意x∈R恒成立，
又∵|x-m|-|x+1|≤|x-m-x-1|=|m+1|，
∴|m+1|≤9，
解之得：-10≤m≤8，
又m＞0，∴0＜m≤8，
∴m的取值范围为（0，8]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．