Question

13．已知集合$A=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{3^x}-3}}\right.}\right\}$，集合$B=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{{log}_{0.5}}x+1}}\right.}\right\}$．
（1）求A∩B；
（2）集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．
（2）由集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，利用交集、并集性质列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．

解答 解：（1）∵集合$A=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{3^x}-3}}\right.}\right\}$={x|x≥1}，
集合$B=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{{log}_{0.5}}x+1}}\right.}\right\}$={x|0＜x≤2}．
∴A∩B={x|1≤x≤2}．
（2）∵集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤1}\\{2a-2≥2}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3．
∴实数a 的取值范围是[2，3]．

点评 本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．