Question

3．设a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，且二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二项式系数之和为64，则其展开式中含x²项的系数是（　　）

• A． -192
• B． 192
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 先求定积分得出a的值，二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二项式系数之和为64，求出n的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x²项的系数．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
∵二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的所有二项式系数之和为64，
∴n=6，
∴二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的通项公式为T_r+1=（-1）^r•${C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}$x^3-r．
令3-r=2，解得 r=1，故展开式中含x²项的系数是-6×2⁵=-192，
故选：A．

点评 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．