Question

10．已知sin（α+$\frac{π}{4}$）+sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
（1）求sinα的值；     
（2）求$\frac{{sin（α-\frac{π}{4}）}}{1-cos2α-sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦公式，结合特殊角的三角函数值，化简求值；     
（2）利用三角恒等变换，化简求值即可．

解答 解：∵sin（α+$\frac{π}{4}$）+sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴（sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$）+（sinαcos$\frac{π}{4}$-cosαsin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴2sinαcos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=$\frac{1}{3}$；     
（2）$\frac{{sin（α-\frac{π}{4}）}}{1-cos2α-sin2α}$=$\frac{sinαcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}}{{2sin}^{2}α-2sinαcosα}$
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα-cosα）}{2sinα（sinα-cosα）}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4sinα}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4×\frac{1}{3}}$
=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了二倍角公式以及三角恒等变换的应用问题，熟练掌握公式是解题的关键．