Question

5．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，抛物线的方程为x²=a²y，直线l：x-y-1=0过椭圆C的右焦点F且与抛物线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为抛物线上两个不同的点，l₁，l₂分别与抛物线相切于A，B，l₁，l₂相交于E点，弦AB的中点为D，求证：直线ED与x轴垂直．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数求出切线方程，然后求解离心率得到a，b，然后求解椭圆方程．
（2）抛物线的方程为x²=4y，设$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}），B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）（{{x_1}≠{x_2}}）$，抛物线在$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}）$处的切线方程为$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，同理抛物线在 $B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）$处的切线方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，求出DE横坐标，推出结果．

解答 解：（1）由x²=a²y，得$y=\frac{1}{a^2}{x^2}$，所以$y'=\frac{2}{a^2}x$，
设直线与抛物线相切的切点为$（{{x_0}，\frac{{{x_0}^2}}{a^2}}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{x_0}}}{a^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{a^2}={x_0}-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2\\{a^2}=4\end{array}\right.$，
又直线l：x-y-1=0过椭圆的右焦点，所以c=1，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：由（1）可知抛物线的方程为x²=4y，设$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}），B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）（{{x_1}≠{x_2}}）$，
抛物线在$A（{{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}}）$处的切线方程为$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，①
同理抛物线在 $B（{{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}}）$处的切线方程为$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，②
①-②得$\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，可得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
即${x_E}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，D为AB的中点，则${x_D}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
所以x_D=x_E，即直线ED与x轴垂直．

点评 本题考查抛物线方程以及椭圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，设而不求方法的应用．