Question

14．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，截面AB₁C₁D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，则B₁点到平面AD₁C的距离为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由AB₁⊥AD，AB⊥AD，知∠BAB₁是截面AB₁C₁D与底面ABCD所成二面角，由截面AB₁C₁D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，求出BB₁=2AB=4，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B₁点到平面AD₁C的距离．

解答 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，
∴AB₁⊥AD，AB⊥AD，
∴∠BAB₁是截面AB₁C₁D与底面ABCD所成二面角，
∵截面AB₁C₁D与底面ABCD所成二面角的正切值为2，
∴tan∠BAB₁=$\frac{B{B}_{1}}{AB}$=2，∴BB₁=2AB=4，
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，4），B₁（2，2，4），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，4），
设平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∴B₁点到平面AD₁C的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查点到平面的距离、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．