Question

如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点，且满足。

（1）求椭圆的方程以及点的坐标；

（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点。求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。

 

Answer 1

解：（1），设，由有，又，，于是

，又，

，又，，椭圆，且。

（2），设，由

，

由于（*），

而由韦达定理：，

，，

设以线段为直径的圆上任意一点，由有

由对称性知定点在轴上，令，取时满足上式，故过定点。