Question

【题目】某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；
（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；
（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得G（x）=42+15x．

∴f（x）=R（x）﹣G（x）=

（2）解：①当0≤x≤5时，由﹣6x2+48x﹣42＞0得：x2﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7．

所以：1＜x≤5．

②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．

综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．

所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利

（3）解：当x＞5时，∵函数f（x）递减，

∴f（x）＜f（5）=48（万元）．

当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣6（x﹣4）2+54，

当x=4时，f（x）有最大值为54（万元）．

所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元

【解析】（1）根据利润=销售收入﹣总成本，且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f（x）的解析式． （2）使分段函数y=f（x）中各段均大于0，再将两结果取并集． （3）分段函数y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．