Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c= b．过点P作两条互相垂直的直线l1 ， l2与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积；
（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆C： （a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），

c为椭圆的半焦距，且c= b，

所以 ，且c2=2b2，

所以a2=3b2，解得b2= ，a2=4．

所以椭圆方程为：

（2）解：设l1方程为y+1=k（x+1），

联立 ，

消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．

因为P为（﹣1，﹣1），解得M（ ， ）

当k≠0时，用﹣ 代替k，得N（ ， ）．

将k=﹣1代入，得M（﹣2，0），N（1，1）．

因为P（﹣1，﹣1），所以PM= ，PN=2 ，

所以△PMN的面积为 × ×2 =2

（3）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），

则 ，

两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

因为线段MN的中点在x轴上，

所以y1+y2=0，从而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．

若x1+x2=0，则N（﹣x1，﹣y1）．

因为PM⊥PN，所以 =0，得x12+y12=2．

又因为x12+3y12=4，所以解得x1=±1，

所以M（﹣1，1），N（1，﹣1）或M（1，﹣1），N（﹣1，1）．

所以直线MN的方程为y=﹣x．

若x1﹣x2=0，则N（x1，﹣y1），

因为PM⊥PN，所以 =0，得y12=（x1+1）2+1．

又因为x12+3y12=4，所以解得x1=﹣ 或﹣1，

经检验：x=﹣ 满足条件，x=﹣1不满足条件．

综上，直线MN的方程为x+y=0或x=﹣

【解析】（1）由已知条件推导出 ，且c2=2b2 ， 由此能求出椭圆方程．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立 ，得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．由此能求出△PMN的面积．（3）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用点差法能求出直线MN的方程为x+y=0或x=﹣ ．