Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．

（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；

（2）求证： 为定值．

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.

试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，

当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，

当时，直线的斜率为，所以其方程为，

即一般方程为．

因为的极坐标方程为，所以，

因为，所以．

所以曲线的标准方程为．

（2）设直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的标准方程为，

可得，即，

则，

所以，

同理，

所以．