Question

【题目】已知P（﹣2，3）是函数y= 图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y= 只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D，另一条直线y= x+6与x轴、y轴分别交于点A、B．则
（1）O为坐标原点，三角形OCD的面积为 ．
（2）四边形ABCD面积的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）48
【解析】解：（1.）∵P（﹣2，3）是函数y= 图象上的点， 故k=﹣6，即y= ，则y′= ，
设Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点（a， ），（a＞0），
则由题意得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，
故直线CD的方程为：y+ = （x﹣a），
令y=0，可得x=2a，即C点坐标为（2a，0），
令x=0，可得y=﹣ ，即D点坐标为（0，﹣ ），
故三角形OCD的面积S△OCD= ×2a× =12，
（2.）∵直线y= x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
则A（﹣4，0），B（0，6），
故四边形ABCD面积S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD= ×4×6+ ×2a×6+ ×4× +12=24+6a+ ≥24+2 =48，
即四边形ABCD面积的最小值为48，
所以答案是：12，48
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．