Question

【题目】已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.

（1）求过点，且与相切的圆的方程；

（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）圆过可得，圆与直线相切，可得.

由，得.从而得圆的方程.

（2）联立方程可得韦达定理： ， .

表示直线的方程为，由对称性可令，得化简整理可得直线过定点 .

试题解析：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，

设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，

圆与直线相切， .

由，得.

过，且与直线相切的圆的方程为.

（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，

， ， ， ，

联立，消去得.

， .

直线的方程为，

令，得 .

直线过定点 ,

解法二：（1）同解法一.

（2）直线过定点.

证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，

， ， ， ，

联立，消去得，

， .

，

.

，即， 三点共线， 直线过定点.

解法三：（1）同解法一.

（2）设直线的方程： ， ， ，则.

由得， .

， .

， 直线的方程为.

.

直线过定点.

点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.