Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）为R上的奇函数，

所以f（0）=0，即 =0，解得b=1，

由f（﹣1）=﹣f（1），得 ，解得a=2，

所以a=2，b=1，

即有f（x）= 为奇函数，

故a=2，b=1

（2）解：f（x）为R上的减函数，证明如下：

由（1）知f（x）= =﹣ ，

设x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（﹣ ）﹣（﹣ ）= ，

因为x1＜x2，所以 ＞0， ，2{x2+1＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）为减函数

（3）解：因为f（x）为奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

又由（2）知f（x）为减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，

而3t2﹣2t=3 ﹣ ，

所以k＜

【解析】（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）= =﹣ ，利用单调性定义可作出判断；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．