Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），若要式子有意义，

则 ，即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．

设F（x）=f（x）﹣g（x），

则F（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣log（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣F（x），

所以f（x）﹣g（x）是奇函数

（2）解：f（x）﹣g（x）＞0，即 loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，loga（x+1）＞loga（1﹣x）．

当0＜a＜1时，上述不等式等价于 ，解得﹣1＜x＜0；

当a＞1时，原不等式等价于 ，解得0＜x＜1．

综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；

当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}

【解析】（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域为{x|﹣1＜x＜1}关于原点对称；利用定义法．
设F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（﹣x）=﹣F（x），得出结论；（2）利用函数的奇偶性整理不等式为loga（x+1）＞loga（1﹣x），对底数a分类讨论得出x的范围，．