【题目】已知函数 .
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
【答案】
(1)解:∵sinxcosx= sin2x,cos2x= (1+cos2x)
∴f(x)=﹣ sin(2x+ )+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣(1+cos2x)+1
=2sin2x﹣2cos2x=2 sin(2x﹣ )
因此,f(x)的最小正周期T= =π;
(2)解:∵0≤x≤ ,∴﹣ ≤2x﹣ ≤
∴当x=0时,sin(2x﹣ )取得最小值﹣ ;当x= 时,sin(2x﹣ )取得最大值1
由此可得,f(x)在区间 上的最大值为f( )=2 ;最小值为f(0)=﹣2.
【解析】(1)利用两角和的正弦公式将sin(2x+ )展开,结合二倍角的正余弦公式化简合并,得f(x)=2sin2x﹣2cos2x,再利用辅助角公式化简得f(x)=2 sin(2x﹣ ),最后利用正弦函数的周期公式即可算出f(x)的最小正周期;(2)根据x∈ ,得﹣ ≤2x﹣ ≤ .再由正弦函数在区间[﹣ , ]上的图象与性质,可得f(x)在区间 上的最大值为与最小值.
【考点精析】利用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知两角和与差的正弦公式:;二倍角的正弦公式:.
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【题目】如图,在直角△ABC中,AB⊥BC,D为BC边上异于B、C的一点,以AB为直径作⊙O,并分别交AC,AD于点E,F.
(Ⅰ)证明:C,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若D为BC的中点,且AF=3,FD=1,求AE的长.
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【题目】如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪, 图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1).设AD=x(x≥0),DE=y,求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域;
(2).如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)写出圆C1的极坐标方程,并求圆C1与圆C2的公共弦的长度d;
(2)设射线θ=与圆C1异于极点的交点为A,与圆C2异于极点的交点为B,求|AB|.
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【题目】设a,b,c是△ABC的三边,P: , Q:方程x2 +2ax+b2 = 0与方程x2 +2cx-b2 = 0有公共根. 则P是Q的_____.(填:充分不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)
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【题目】为了展示中华汉字的无穷魅力,传递传统文化,提高学习热情,某校开展《中国汉字听写大会》的活动.为响应学校号召,2(9)班组建了兴趣班,根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图,如图所示(把频率当作概率).
(1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;
(2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适?
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【题目】设f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
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【题目】已知圆经过点、,并且直线: 平分圆.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若过点,且斜率为的直线与圆有两个不同的交点.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)若,求的值.
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【题目】已知点A(,﹣1),B(2,1),函数f(x)=log2x.
(1)过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切线的方程;
(2)曲线y=f(x)(≤x≤2)上是否存在点P,使得过P的切线与直线AB平行?若存在,则求出点P的横坐标,若不存在,则请说明理由.
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