Question

已知f（x）=mx（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是

（-4，0）

．

Answer 1

分析：由于当x≥1时，g（x）≥0，所以可推得f（x）=mx（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，即m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组即可得m的范围．

解答：解：∵g（x）=2^x-2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）=mx（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，即m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，
则二次函数y=m（x-2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
所以有

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，解得-4＜m＜0，
所以实数m的取值范围是：（-4，0）．
故答案为：（-4，0）．

点评：本题为二次函数和指数函数的综合应用，涉及数形结合的思想，属中档题．对问题进行合理转化是解决该题的关键．