Question

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…f（a_n）…（n∈N^*?）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）•lgf（a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，从而可得a_n=n+1，进而可证数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；
（2）当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用错位相减法可求数列的和；
（3）求出数列{c_n}的通项，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，对m进行分类讨论，即可求得m的取值范围．

解答：（1）证明：由题意，f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，即man=mn+1．
∴a_n=n+1，（2分）
∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）
（2）解：由题意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹　①（6分）
①式两端同乘以2，得
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²　②
②-①并整理，得
S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-

22(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²•n．（9分）
（3）解：由题意c_n=f（a_n）•lgf（a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，对一切n∈N^*成立，
①当m＞1时，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）对一切n∈N^*恒成立；（11分）
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以等价使得

n+1

n+2

＞m对一切n∈N^*成立，
因为

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值为

2

3

，所以0＜m＜

2

3

．
综上，当0＜m＜

2

3

或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项．（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项，掌握求和公式是关键．