Question

数列{a_n}中，对任意自然数n，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

等于（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）²
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意易得a_n=2^n-1，可判{a_n²}是1为首项，4为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得．

解答： 解：当n=1时，可得a₁=2¹-1=1，
当n≥2时，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
当n=1时上式也适合，∴a_n=2^n-1，
∴

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4
∴{a_n²}是1为首项，4为公比的等比数列，
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

（4ⁿ-1）
故选：D

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题．