Question

【题目】已知函数f（x）= ． （I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式f（x）＞ 恒成立，求整数k的最大值；
（III）求证：（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞）， f′（x）=﹣ ，
令φ（x）= +lnx，则φ′（x）= ，
x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，
∴f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，
综上，f（x）在（0，1），（1，+∞）递减；
（Ⅱ）f（x）＞ （x＞1）恒成立，
令h（x）= ＞k恒成立，
即h（x）的最小值大于k，
h′（x）= ，（x＞1），
令g（x）=x﹣2﹣lnx（x＞1），则g′（x）= ＞0，
故g（x）在（1，+∞）递增，
又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣2ln2＞0，
g（x）=0存在唯一的实数根a，且满足a∈（3，4），a﹣2﹣lna=0，
故x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）递增，
1＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）递减，
故h（x）min=h（a）= = =a∈（3，4），
故正整数k的最大值是3；
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知， ＞ ，（x＞1）恒成立，
即lnx＞2﹣ ，故ln（x+1）＞2﹣ ＞2﹣ ，
令x=n（n+1），（n∈N*），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣ ，
∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]
＞（2﹣ ）+（2﹣ ）+…+[2﹣ ]
=2n﹣3[ + +…+ ]
=2n﹣3（1﹣ ）
=2n﹣3+ ＞2n﹣3，
故（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．
法二：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ，
只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n﹣3，
即ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3．
可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3＞0，右边=﹣1，不等式显然成立；
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+k（k+1）＞2k﹣3，
那么n=k+1时，
ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k﹣3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k﹣3+2=2k﹣1=2（k+1）﹣3，
∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3成立．
则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ．
【解析】（Ⅰ）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；（Ⅱ）问题转化为h（x）k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值；（Ⅲ）法一：可得ln（x+1）＞2﹣ ，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3，进而可得答案；法二：利用数学归纳法证明即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．