【题目】设函数,已知曲线
在点
处的切线与直线
平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然数,使得方程
在
内存在唯一的根?如果存在,求出
;如果不存在,请说明理由。
(Ⅲ)设函数(
表示
中的较小者),求
的最大值。
【答案】(1) .
(2) 时,方程
在
内存在唯一的根.证明见解析.
(3) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得;(Ⅱ)求出
的导数和单调区间,最值,由零点存在定理,即可判断存在
;(Ⅲ)由(Ⅱ)求得
的解析式,通过
的最大值,即可得到所求.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,曲线在点
处的切线斜率为
,所以
,
又所以
.
(Ⅱ)时,方程
在
内存在唯一的根.
设
当时,
.
又
所以存在,使
.
因为所以当
时,
,当
时,
,
所以当时,
单调递增.
所以时,方程
在
内存在唯一的根.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程在
内存在唯一的根
,且
时,
,
时,
,所以
.
当时,若
若由
可知
故
当时,由
可得
时,
单调递增;
时,
单调递减;
可知且
.
综上可得函数的最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数中第2014个数是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ex﹣x2﹣ax.
(1)若曲线y=f(x)在点x=0处的切线斜率为1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;
(2)令g(x)=f(x)+ (x2﹣a2),若x≥0时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0且x>0时,证明f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成,具体数据如表所示:
组别 | 文科 | 理科 | ||
性别 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
人数 | 3 | 1 | 3 | 2 |
学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出,每选出一名男生,给其所在的组记1分;每选出一名女生,给其所在的组记2分,要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有.
(I)求理科组恰好得4分的概率;
(II)记文科组的得分为X,求随机变量X的分布列和数学期望EX.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= . (I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整数k的最大值;
(III)求证:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥中,已知
都是边长为
的等边三角形,
为
中点,且
平面
,
为线段
上一动点,记
.
(1)当时,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(2)当与平面
所成角的正弦值为
时,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在三棱锥P﹣ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4.AB=2,BC=2 ,D.E分别为PC.BC的中点. 〔I)求证:平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)求三棱锥P﹣ABC的体积;
(Ⅲ)求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com