Question

【题目】已知圆的圆心在轴上，点是圆的上任一点，且当点的坐标为时，到直线距离最大.

（1）求直线被圆截得的弦长；

（2）已知，经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点.

（Ⅰ）求证：为定值；

（Ⅱ）若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再由可得到弦长；（2）设直线的方程为，与圆的方程联立，可得到关于的一元二次方程，及根与系数关系。对于（Ⅰ）由代入根与系数关系可得到定值；对于（Ⅱ）可化为，代入根与系数关系即可求出，从而得到答案。

（1）由题意，设圆心，当的坐标为时，，

，.

，，所以半径为.

圆的标准方程为.

圆心到直线的距离为，

所求弦长为.

（2）设直线的方程为，与圆的方程联立，

可得，

，.

（Ⅰ）为定值；

（Ⅱ）

，

.

.

直线的方程为.