Question

【题目】已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2： =1（a＞b＞0）的右焦点重合，C1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．
（1）若△AOB是边长为2 的正三角形，求抛物线C1的方程；
（2）若AF⊥OF，求椭圆C2的离心率e；
（3）点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证明：mn=a2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的右焦点为F（c，0），依题意得抛物线的方程为y2=4cx

∵△AOB是边长为2 的正三角形，

∴点A的坐标是 ，

代入抛物线的方程y2=4cx解得 ，

故所求抛物线C1的方程为y2=x

（2）解：∵AF⊥OF，∴点A的横坐标是c

代入椭圆方程解得 ，即点A的坐标是

∵点A在抛物线y2=4cx上，

∴ ，

将b2=a2﹣c2代入上式整理得： ，

即e2+2e﹣1=0，解得

∵0＜e＜1，故所求椭圆C2的离心率

（3）证明：设P（x1，y1），A（x2，y2），B（x2，﹣y2），

代入椭圆方程得

而直线PA的方程为（x2﹣x1）（y﹣y1）+（x﹣x1）（y1﹣y2）=0

令y=0得

在 中，以﹣y2代换y2得

∴ =

【解析】（1）确定点A的坐标是 ，代入抛物线的方程y2=4cx，求出c，即可求得抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，可求A的坐标，代入抛物线的方程y2=4cx，结合b2=a2﹣c2 ， 即可求椭圆C2的离心率e；（3）利用直线PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可证明结论．