Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣ y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x= 于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1 ， k2 ， 试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得e= = ，a2﹣b2=c2，

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣ y+12=0相切，

可得d═ =b，解得a=4，b=2 ，c=2，

故椭圆C的方程为 =1；

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，

得（4+3m2）y2+18my﹣21=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由A，P，M三点共线可知， = ，即yM= ；

同理可得yN= ．

所以k1k2= = ．

因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，

所以k1k2= =﹣ ．

即k1k2为定值﹣

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．