Question

（2013•宝山区一模）已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为4

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，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）函数f（x）；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer 1

分析：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)，由

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

 (a＞0)，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（III）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}．令bn=y，u=(

3

4

)n-1则y=3{(u-

1

2

)2-

1

4

}=3(u-

1

2

)2-

3

4

．数列{b_n}的最值及相应的n．

解答：解：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)∵

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

 (a＞0)∴a=1，f（x）=（x-1）²…（3分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴
（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0
∴an+1-1=

3

4

(an-1)，a1-1=1数列{a_n-1}是首项为1，公比为

3

4

的等比数列
∴an-1=(

3

4

)n-1，an=(

3

4

)n-1+1…（9分）
（III）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=3[(

3

4

)n-1]2-4(

3

4

)n=3{[(

3

4

)n-1]2-(

3

4

)n-1}
令bn=y，u=(

3

4

)n-1则y=3{(u-

1

2

)2-

1

4

}=3(u-

1

2

)2-

3

4

∵n∈N^*，
∴u的值分别为1，

3

4

，

9

16

，

27

64

…，经比较

9

16

距

1

2

最近，
∴当n=3时，b_n有最小值是-

189

256

，当n=1时，b_n有最大值是0．…（14分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．