Question

（2013•宝山区一模）已知函数f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x．
（1）当b=-5时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=log2(4x+b•2x+4)，b=-5，知4^x-5•2^x+4＞0，由此能求出f（x）的定义域．
（2）f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x，由f（x）＞g（x），得4^x+b•2^x+4＞2^x，由此能求出结果．

解答：解：（1）∵函数f(x)=log2(4x+b•2x+4)，b=-5，
∴4^x-5•2^x+4＞0，…3分
解得x＜0，或x＞2．
∴f（x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）．…6分
（2）∵f(x)=log2(4x+b•2x+4)，g（x）=x，
∴由f（x）＞g（x），得4^x+b•2^x+4＞2^x，
即b＞1-(2x+

4

2x

)…9分
令h(x)=1-(2x+

4

2x

)，
则h（x）≤-3，…12分
∴当b＞-3时，f（x）＞g（x）恒成立．
故b的取值范围是（-3，+∞）．…14分．

点评：本题考查函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意对数函数的性质和等价转化思想的合理运用．