Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长为5

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，求此抛物线的方程．

Answer 1

分析：不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x，由题意可知OA⊥OB，从而有KOB=-

1

KOA

，则可求直线OB的方程，联立方程

y=2x y2=2px

可求A的坐标，进而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，进而可求抛物线的方程

解答：解：不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴KOB=-

1

KOA

=-

1

2

，直线OB的方程为y=-

1

2

x
联立方程

y=2x y2=2px

可得2x²-px=0
∴xA=

p

2

，y_A=p
同理可得x_B=8p，y_B=-4p
∵斜边AB=5

13

由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²=325
∴325=(

p

2

)2+p2+64p2+16p2
∵p＞0
∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x

点评：本题主要考察了直线与抛物线的相交关系及方程的根与系数的关系的应用，解题中的关键是由直线的垂直关系得到直线OB的斜率．