Question

设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：

①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)成立；

②当x∈(0，5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)求f(1)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)求最大的实数m(m＞1)，使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1，故f(1)＝1　　3分 　　(2)由①知二次函数的关于直线x＝－1对称，且开口向上 　　故设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)2，(a＞0)，∵f(1)＝1，∴a＝ 　　∴f(x)＝(x＋1)2　　7分 　　(3)假设存在t∈R，只需x∈[1，m]，就有f(x＋t)≤x． 　　f(x＋t)≤x(x＋t＋1)2≤xx2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0． 　　令g(x)＝x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1，g(x)≤0，x∈[1，m]． 　　 　　∴m≤1－t＋2≤1－(－4)＋2＝9 　　t＝－4时，对任意的x∈[1，9] 　　恒有g(x)≤0，∴m的最大值为9　　14分