Question

已知抛物线C：y²=4x，过点A（x，0）（其中x为常数，且x＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x=1，M₁，M₂，M₃为抛物线C上的三点，且△M₁M₂M₃的重心为A，求线段M₂M₃所在直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出直线PD的方程，令y=0，求出x，设l：y=k（x-x），代入抛物线方程，化简即可得到结论；
（2）设：y=kx+m，代入抛物线方程，利用韦达定理及重心坐标，求出M₁的坐标，利用M₁在抛物线y²=4x上，即可求得结论．
解答：（1）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则D（x₂，-y₂），直线PD的方程为，
令y=0，x===，
设l：y=k（x-x），代入抛物线方程，得到ky²-4y-4kx=0，∴y₁y₂=-4x
∴x=x，即B（x，0）为定点；
（2）解：A（1，0），设：y=kx+m，M₁（x₁′，y₁′），M₂（x₂′，y₂′），M₃（x₃′，y₃′），M₂M₃中点E（x_E′，y_E′），
：y=kx+m代入抛物线方程，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴x₁′+x₂′=，
∴y₁′+y₂′=，
∴E（，），
∵2=，∴M₁（3-，-），
∵M₁在抛物线y²=4x上，
∴
∴3k²+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k²＜2，
∴k²＞2，
∴或．
点评：本题考查直线恒过定点，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．