Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=-19，5a₅=11a₈．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式和前n项和公式的即可得出，再令a_n≤0即可；
（II）由（I）可得：a₁₀＜0，a₁₁＞0．可得当n≤10时，T_n=-a₁-a₂…-a_n=-S_n．当n≥11时，T_n=-a₁-a₂…-a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a_n=S_n-2S₁₀．由此即可得到和的表达式

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-19，5a₅=11a₈，
∴5（a₁+4d）=11（a₁+7d），5a₁+20d=11a₁+77d，
∴6a₁=-57d，即6×（-19）=-57×d，
∴d=2．
∴a_n=-19+（n-1）×2=2n-21．
当a_n＜0时，2n＜21，n＜

21

2

，即当n≤10时，a_n＜0，当n＞11时，a_n＞0．
∴S_n最小值为S₁₀．
S₁₀=10×（-19）+

10×9

2

×2=-100．
（Ⅱ）∵a₁₀＜0，a₁₁＞0，
∴当n≤10时，T_n=-a₁-a₂…-a_n=-S_n=-n²+20n．
当n≥11时，T_n=-a₁-a₂…-a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a_n=S_n-2S₁₀=n²-20n+200，
∴Tn=

-n2+20n，n≤10 n2-20n+200，n≥11

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、含绝对值的数列的求和问题、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．