Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍，纵坐标坐标都伸长为原来的倍，得到曲线，在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的极坐标方程为．

（1）求直线和曲线的直角坐标方程；

（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．

Answer 1

【答案】(1)，；(2).

【解析】试题分析：(1)根究极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到直线的直角坐标方程，利用曲线的变换，在消去参数，即可得到曲线直角坐标方程；

(2)由点在曲线上,设点的坐标为，利用点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值，即可得到结论.

试题解析：

(1)因为直线的极坐标方程为,所以有

，即直线的直角坐标方程为:

因为曲线的的参数方程为(为参数),经过变换后为(为参数)

所以化为直角坐标方程为:

(2)因为点在曲线上,故可设点的坐标为，

从而点到直线的距离为

由此得,当时,取得最大值,且最大值为