Question

【题目】在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、、别是棱、、的中点,则下列四个命题:

；

②三棱锥的外接球的表面积为；

③三棱锥的体积为；

④直线与平面所成角为

其中正确的命题有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)

Answer 1

【答案】①②③

【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱：

其中，底面为等腰直角三角形, , ， 、、别是棱、、的中点.

对于①，取中点，连接， 交于点，连接.

∵为中点， ，

∴四边形为正方形，则

在中， ， 分别为， 的中点，则∥，且.

∵为的中点，且∥

∴∥且

∴四边形为平行四边形

∴∥

∴，故正确；

对于②，易得，则.

∵

∴，即

∵

∴三棱锥的外接球的球心在线段的中点处，则外接球的半径为

∴三棱锥的外接球的表面积为，故正确；

对于③，易得， .

在中， ， ， ，同理可得，则三棱锥为正四面体，其体积为，故正确；

对于④，直线在平面上的投影为直线，则为直线与平面所成的角，在中， ，故不正确.

故答案为①②③.