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    【题目】某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：

    流失教师数

    6

    7

    8

    9

    频数

    10

    15

    15

    10

    以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数， 表示今年为两所县乡中学招聘的教师数．为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘．

    （1）求的分布列；

    （2）若要求，确定的最小值；

    （3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

    【答案】（1）见解析（2）15（3）

    【解析】【试题分析】（1）先由频率及计算出概率，两所学校流失教师数可能取值为，利用相互独立事件的概率计算公式计算出分布列.（2）由（1）易求得的最小值为15.（3）分别计算出时，招聘教师所需费用的期望值，通过对比期望值确定选较为合适.

    【试题解析】

    解：（1）由频数分布表中教师流失频率代替教师流失概率可得，一所县乡中学在三年内流失的教师数为6,7,8,9的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2．

    所有可能的取值为：12,13,14,15,16,17,18，

    且，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    所以的分布列为：

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    0.04

    0.12

    0.21

    0.26

    0.21

    0.12

    0.04

    （2）由（1）知， ，

    故的最小值为15．

    （3）记表示两所县乡中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）．

    当时， 的分布列为：

    15

    18

    21

    24

    0.63

    0.21

    0.12

    0.04

    ；

    当时， 的分布列为：

    16

    19

    22

    0.84

    0.12

    0.04

    ．

    可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．

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    (1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    (2)设直线与曲线相交于两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值.

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    【题目】某中学每年暑假举行“学科思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲这都要填写一份问卷调查.2017年暑假某一天五场讲座收到的问卷份数情况如下表：

    学科

    语文

    数学

    英语

    理综

    文综

    问卷份数

    用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取份进行统计，结果如下表：

    满意

    一般

    不满意

    语文

    数学

    1

    英语

    理综

    文综

    （1）估计这次讲座活动的总体满意率；

    （2）求听数学讲座的甲某的调查问卷被选中的概率；

    （3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出 人进行家访，求这 人中选择的是理综讲座的人数的分布列.

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    【题目】在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、、别是棱、、的中点,则下列四个命题:

    ；

    ②三棱锥的外接球的表面积为；

    ③三棱锥的体积为；

    ④直线与平面所成角为

    其中正确的命题有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)

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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线的极坐标方程为．

    （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）设曲线与直线交于、两点，且点的坐标为，求的值．

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    【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形， ， ， ，点在线段上，且， ， 平面.

    （1）求证：平面平面；

    （2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值.

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    【题目】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以， 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

    A. B. C. D.

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    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值.

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    【题目】已知椭圆: 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于， 两点， 为椭圆的左顶点.

    (Ⅰ)求椭圆的标准方程；

    (Ⅱ)求面积的最大值，并求此时直线的方程.

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