Question

【题目】已知椭圆: 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于， 两点， 为椭圆的左顶点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)求面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线l的方程为x＝1.

【解析】试题分析：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2) 联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.

试题解析：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，所以椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.　①

把点Q代入＋＝1，得＋＝1.　②

由①②解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＋y2＝1，

得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.

则|y1－y2|＝＝＝＝＝.令＝m(m≥)．易知函数y＝m＋在[，＋∞)上单调递增，

则＋≥＋＝，当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．

所以|y1－y2|≤.所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，

所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.