Question

【题目】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，.

（1）证明：；

（2）设是线段上的动点，是否存在这样的点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）长为1.

【解析】试题分析：（1）连结，，则由余弦定理可知，根据直棱柱的性质，先由面面垂直证明线面垂直，再得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理可得到平面，进而可得结果；（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式列方程，从而可得结果.

试题解析：（1）连结，，则由余弦定理可知，

由直棱柱可知，

（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立坐标系.

（），，，

，，

，，

，又，则，故长为1.