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在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM( )

A.和AC、MN都垂直

B.垂直于AC,但不垂直于MN

C.垂直于MN,但不垂直于AC

D.与AC、MN都不垂直

A

【解析】

试题分析:此题的条件使得建立空间坐标系方便,且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系,故应先建立坐标系,设出边长,据几何特征,给出各点的坐标,验证向量内积是否为零.

【解析】
以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0,a)、A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a,a,0)、N(0,a,2a).

=(﹣a,﹣a,a),=(0,a,a),=(﹣2a,2a,0).

=0,=0,

∴OM⊥AC,OM⊥MN.

故选A.

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