Question

3．已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，则2a+3b的取值范围是[$\frac{5}{2}，3$]．

Answer 1

分析 由题意画出集合B所表示的图形，结合A∩B=∅得到a，b所满足的不等式组，由线性规划知识结合补集思想求得2a+3b的取值范围．

解答 解：由题意画出集合B所表示的图形如图，

若A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$．
令z=2a+3b．
作出可行域如图，

化z=2a+3b为$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$，
由图可知，当直线$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$过（0，1）时，z的值为3；
当直线$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$过（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）时，z的值为$\frac{5}{2}$．
由补集思想可得：若A∩B≠∅恒成立，则2a+3b的取值范围是[$\frac{5}{2}，3$]．
故答案为：[$\frac{5}{2}，3$]．

点评 本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，难度较大．