Question

12．已知向量$\overrightarrow{p}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{q}$=（cosx，cosx），定义函数f（x）=$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．
（1）若f（B）=$\sqrt{3}$，求角B的大小；
（2）在（1）的条件下，若S_△ABC=$\sqrt{3}$，b=2，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求a，c的值．

Answer 1

分析 由平面向量数量积的坐标运算求得f（x）的解析式并化简．
（1）由f（B）=$\sqrt{3}$可得sin（2B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后结合B的范围求得B；
（2）由已知得到关于a，c的方程组，求解方程组得答案．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx）•（cosx，cosx）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）由f（B）=$\sqrt{3}$，得sin（2B+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜2B+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
则$2B+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{π}{6}$；
（2）由sinAcosC+3cosAsinC=0，得sinB+2cosAsinC=0，
即b+2c$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，∴2b²+c²-a²=0．
又B=$\frac{π}{6}$，∴sinB=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
由S_△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB$=$\sqrt{3}$，得：
$\frac{1}{4}ac=\sqrt{3}$，即$ac=4\sqrt{3}$ ①．
又由2b²+c²-a²=0，得a²-c²=8 ②．
联立①②解得$a=2\sqrt{3}$，c=2．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式、倍角公式、三角形的面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．