Question

4．已知实数x、y满足|2x+3y|＜$\frac{1}{3}$，|x-2y|＜$\frac{1}{6}$，求证：|y|＜$\frac{2}{21}$．

Answer 1

分析 通过去绝对值符号可知-$\frac{1}{3}$＜2x+3y＜$\frac{1}{3}$、-$\frac{1}{6}$＜2y-x＜$\frac{1}{6}$即-$\frac{1}{3}$＜4y-2x＜$\frac{1}{3}$，两式相加、计算即得结论．

解答 证明：∵|2x+3y|＜$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$＜2x+3y＜$\frac{1}{3}$，①
∵|x-2y|＜$\frac{1}{6}$，
∴-$\frac{1}{6}$＜2y-x＜$\frac{1}{6}$，
∴-$\frac{1}{3}$＜4y-2x＜$\frac{1}{3}$，②
由①、②可知-$\frac{2}{3}$＜7y＜$\frac{2}{3}$，
∴-$\frac{2}{21}$＜y＜$\frac{2}{21}$，即|y|＜$\frac{2}{21}$．

点评 本题考查不等式的证明，去绝对值符号、利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．