Question

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上递增，p：f（$\frac{x}{x+1}$）＜f（-$\frac{1}{2}$），q：|x-a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{4}{3}$）
• B． （-∞，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）
• D． [0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上递增，
∴不等式f（$\frac{x}{x+1}$）＜f（-$\frac{1}{2}$）等价为f（|$\frac{x}{x+1}$|）＜f（$\frac{1}{2}$），
即|$\frac{x}{x+1}$|＜$\frac{1}{2}$，
即2|x|＜|x+1|，
平方得4x²＜x²+2x+1，
即3x²-2x-1＜0，
解得$-\frac{1}{3}$＜x＜1，即p：$-\frac{1}{3}$＜x＜1，
由|x-a|＜1得a-1＜x＜a+1，即q：a-1＜x＜a+1，
若p是q的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1≤-\frac{1}{3}}\\{a+1≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{3}}\\{a≥0}\end{array}\right.$，解得0≤a≤$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．